Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia, matematika adalah “ilmu tentang bilangan-bilangan, hubungan antara bilangan, dan prosedur operasional yang digunakan dalam penyelesaian masalah mengenai bilangan”. Kalimat ini bukan rumusan yang tepat, sekalipun dapat dikatakan memadai untuk dicantumkan dalam kamus. Ada cabang matematika yang tidak langsung berurusan dengan bilangan, misalnya geometri, topologi, teori graf serta logika.
Dalam naskah ini matematika didefinisikan sebagai ilmu tentang pernyataan-pernyataan, serta syarat-syarat yang diperlukan agar sebuah pernyataan adalah benar. Dalam matematika diuji kebenaran sebuah pernyataan, diteliti makna atau implikasi dari setiap kata yang terdapat didalamnya, serta dicoba dikembangkan pernyataan-pernyataan lain yang berkaitan. Pernyataan itu dapat mengenai apa saja, yang para matematikawan memilih sebagai obyek-obyek yang pantas diteliti dan dicermati. Salah satu obyek yang menarik adalah, tentu saja, bilangan. Ternyata ada aneka ragam bilangan, baik yang asli, maupun yang tidak asli. Ternyata ada bilangan yang memiliki ciri istimewa, yang lalu disebut bilangan prima. Studi mengenai hal ini sangat penting tidak hanya dalam matematika, namun juga dalam teknik komputer.
Obyek menarik lain terdapat dalam geometri, misalnya titik, garis, bidang, serta bentuk yang dapat muncul daripadanya, seperti segitiga, lingkaran, elips, kubus, bola, kerucut, piramida, dan lain-lain. Sangatlah terkenal pernyataan Pythagoras, bahwa dalam segitiga siku-siku, luas bujur sangkar pada hipotenusa (sisi miring) sama dengan jumlah luas bujur sangkar kedua sisi lainnya.
Dalam studi tentang bentuk-bentuk dalam geometri, muncul secara alami konsep-konsep seperti panjang, luas, isi, berat dan titik berat. Daripadanya berkembang konsep tentang satuan, besaran dan fungsi.
Obyek menarik lain bagi para matematikawan adalah himpunan, serta hubungan antara berbagai himpunan. Studi mengenai hal ini telah menghasilkan aneka manfaat praktis, serta mengarahkan matematikawan kepada aneka persoalan sangat mendasar, bahkan sering bersifat abstrak, mengenai matematika serta pondasi yang diatasnya terdapat bangunan yang lalu disebut matematika. Apapun yang dipelajari dan dilakukan, semua kembali kepada usaha untuk membuat sekurang-kurangnya sebuah pernyataan yang dapat dipertanggung-jawabkan.
Pernyataan akan diterima sebagai pernyataan yang benar, jika kepadanya dapat diberikan (sekurang-kurangnya) sebuah bukti yang meyakinkan, yaitu argumentasi atau deretan kalimat yang rapi, runtut dan masuk akal, yang daripadanya tidak ada keragu-raguan lagi mengenai kebenaran dari teorema yang dibahas.
Pernyataan yang kebenarannya tidak pernah diragukan, namun tidak pernah diberikan buktinya, disebut aksioma. Pernyataan yang kebenarannya telah dijamin sekurang-kurangnya oleh sebuah bukti meyakinkan disebut teorema atau lemma. Beda antara teorema dan lemma tidak perlu dibahas disini. Pada bagian awal dari buku klasiknya yang berjudul “Grundlage der Geometrie”, David Hilbert menuliskan aksioma-aksioma tentang titik, garis dan bidang. Dari aksioma-aksioma itu ia berhasil membuktikan semua teorema penting dalam geometri. – Itulah contoh konkrit sebuah matematika.
Matematika biasanya diletakkan dalam kategori yang sama dengan logika, yang merupakan cabang dari filsafat. Filsafat itu sendiri dalam Kamus Besar Bahasa Indonesia diterangkan sebagai “pengetahuan dan penyelidikan dengan akal budi mengenai hakekat segala yang ada, sebab, asal dan hukumnya” -- scientia rerum per causas ultimas. Menurut Bertrand Russel, logika adalah masa kakak-kanak dari matematika.
Matematika juga biasanya diletakkan dalam kategori yang sama dengan fisika, yang masa kanak-kanaknya disebut kosmologi, yang merupakan cabang dari filsafat juga. Dalam fisika dipelajari obyek alam (benda), dan atas obyek itu dicoba dibuat pernyataan-pernyataan yang benar, yang sekarang biasa disebut hukum-hukum alam atau hukum-hukum fisika. (Dalam naskah ini kimia diperlakukan sebagai bagian yang tak terpisahkan dari fisika).
Adakah beda nyata antara teorema (dalam matematika) dan hukum (dalam fisika)? Salah satu perbedaan adalah dalam pembuktian atas kebenarannya. Teorema dibuktikan melalui argumentasi, sedang hukum dalam fisika dibuktikan melalui eksperimen atau pengamatan.
Perbedaan lain nyata dalam sifat penelitian yang dilakukan atas teorema dan hukum. Hukum dikaji, dan dicoba dirumuskan kembali, dalam konteks gejala-gejala alam yang disadari, atau sekurang-kurangnya dicurigai, mengandung fakta baru, agar hukum dapat dirumuskan kembali menjadi bersifat mencakup fakta baru tersebut serta memiliki ciri universal, yaitu berlaku dimana saja dan kapan saja. Penelitian umumnya dikaji dalam pola pemikiran yang induktif.
Teorema pun dikaji dengan sasaran serupa. Tetapi teorema sering diungkapkan berdasarkan n buah asumsi: “jika n buah asumsi A1, A2, ... An ini benar, maka pernyataan P adalah benar”. Apakah cacah asumsi dapat dikurangi, sehingga dapat dirumuskan teorema tanpa asumsi (misalnya)? Jika teorema bertolak dari sebuah asumsi yang sangat ketat, dapatkah asumsi yang ketat itu diperlunak, tanpa mengubah materi dalam teorema? -- Penelitian umumnya bersifat kajian deduktif dan diarahkan kepada pembentukan sistem matematika yang utuh: logis, konsisten dan efisen (bermanfaat).
Tidak ada komentar:
Posting Komentar